Mudar un sitio empieza por anotar la zona DNS, no por apagar el servidor viejo. En esa zona está escrito a dónde va la web y a dónde va el correo. Si se pierde, el dominio queda a medias.

Copia lo que está en uso

En el administrador del dominio abre la zona y anota, uno por uno: los registros MX, el SPF, la dirección de la web y los subdominios que de verdad se usan, como correo, ftp o una tienda. Una captura de esa pantalla alcanza, siempre que se lea el tipo, el nombre y el destino.

El correo no viaja solo

El sitio puede copiarse completo y el correo igual dejar de llegar, porque las casillas dependen de los MX. Esos registros tienen que existir en el destino antes de apuntar el dominio. Prueba enviar y recibir una casilla de prueba cuando el destino ya responde, y recién ahí cambia los DNS.

Cambia al final

Mientras los DNS sigan en el origen, el público ve el sitio de siempre. Ese es el momento de corregir. Cuando cambias los DNS, la propagación puede tardar unas horas: no borres el origen el mismo minuto.

Si el dominio está en Hosting Profesional, el cambio se apoya en los servidores DNS de la cuenta para no cortar el correo corporativo.

El dominio se registra en registro de dominios.