Cambiar los DNS mueve todo el dominio, no solo la página. Si la zona nueva no tiene el correo, las casillas dejan de entrar en cuanto el cambio se propaga.
Antes de tocar
Anota los servidores DNS que están hoy y exporta o copia los registros de correo: MX, y los TXT de SPF y DKIM si existen. También anota las casillas y sus claves, porque la clave no viaja sola con el DNS.
En la cuenta de destino el sitio ya tiene que estar subido y las casillas creadas. Si apuntas el dominio hacia una cuenta vacía, el mundo va a ver esa cuenta vacía.
El cambio
Modifica los DNS en el registrador del dominio, no en dos paneles a la vez. Un solo lugar manda. La propagación puede tardar algunas horas: durante ese rato hay gente que todavía ve el sitio anterior y gente que ya ve el nuevo. No borres la cuenta vieja ese mismo día.
La prueba que importa
Cuando la portada nueva ya abre, entra al webmail de la cuenta nueva y envía un mensaje a una casilla externa. Responde desde afuera. Si la portada funciona y ese ida y vuelta no, faltan los registros de correo en la zona nueva: restáuralos con la nota que tomaste.
Recién cuando sitio y correo respondan, da de baja lo anterior.
Si el dominio está en Hosting Profesional, el cambio se apoya en los servidores DNS de la cuenta para no cortar el correo corporativo.
Esta casilla se crea en el hosting. El servicio está en el correo corporativo y la configuración, en la guía de correo.